(2013•崇明縣一模)在平面直角坐標系中,已知點A的坐標為,點B在第二象限,,cot∠AOB=3(如圖),一個二次函數(shù)y=ax2+b的圖象經(jīng)過點A、B.
(1)試確定點B的坐標;
(2)求這個二次函數(shù)的解析式;
(3)設(shè)這個二次函數(shù)圖象的頂點為C,△ABO繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn),點B落在y軸的正半軸上的點D,點A落在點E上,試求sin∠ECD的值.

【答案】分析:(1)過點B作BH⊥AO,垂足為H,在Rt△BHO中,,設(shè)HB=x,則OH=3x,由勾股定理求得x,從而確定點B的坐標;
(2)由二次函數(shù)y=ax2+b的圖象經(jīng)過點A、B,得方程組,求出這個二次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)題意,得∠AOB=∠EOC,點E在第二象限,過點E作EG⊥CO,垂足為G,確定點C、E的坐標,再再由勾股定理求出CE,從而得出求sin∠ECD的值.
解答:解:(1)過點B作BH⊥AO,垂足為H,
在Rt△BHO中,,
設(shè)HB=x,則OH=3x,
,OH2+HB2=OB2,

∴x=1,
∴HB=1,OH=3,(2分)
∵點B在第二象限,
∴點B的坐標是(-3,1);(1分)

(2)由二次函數(shù)y=ax2+b的圖象經(jīng)過點A、B,點A的坐標為,
,(1分)
解此方程,得:,(2分)
∴這個二次函數(shù)的解析式是y=-x2+10;(1分)

(3)根據(jù)題意,得:∠AOB=∠EOC,點E在第二象限,
過點E作EG⊥CO,垂足為G,
與(1)的解法一樣可得:點E的坐標是(-1,3),
∴EG=1,OG=3(1分),
由(2),得:這個二次函數(shù)y=-x2+10的圖象的頂點是C(0,10),
∴OC=10,
∴CG=OC-OG=7,(1分)
在Rt△CGE中,CG2+EG2=CE2,
(1分),
sin∠ECD===(1分).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的頂點公式和勾股定理等知識點.主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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-
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(1)求觀測點B到航線l的距離;
(2)求該輪船航行的速度(結(jié)果精確到0.1海里/時).
(參考數(shù)據(jù):
3
≈1.73,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)

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