Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線=－++，經(jīng)過A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三點(diǎn)，且-=5．

（1）求、的值；

（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以OB為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

Answer 1

（1）解法一：∵拋物線=－++經(jīng)過點(diǎn)A（0，－4），∴=－4

又由題意可知，、是方程－++=0的兩個(gè)根，

∴+=，  =－=6

由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24

∴ －24=25 ，解得=±

當(dāng)=時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，不合題意，舍去．

∴=－．

解法二：∵、是方程－++c=0的兩個(gè)根，

即方程2－3+12=0的兩個(gè)根．∴=，

∴－==5，  解得 =±（以下與解法一相同．）   �。ǎ撤郑�

（2）∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上， 又∵=－－－4=－（+）+  

∴拋物線的頂點(diǎn)（－，）即為所求的點(diǎn)D．　　　�。ǎ撤郑�

（3）∵四邊形BPOH是以OB為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－6，0），

根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線=-3與

拋物線=－--4的交點(diǎn)，

∴當(dāng)=－3時(shí)，=－×（－3）－×（－3）－4=4，

∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（－3，4），使得四邊形BPOH為菱形．

四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅?i>BPOH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是

（－3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上．