Question

【題目】如圖，將矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，B（8，6），點(diǎn)D是射線AO上的一點(diǎn)，把△BAD沿直線BD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′．

（Ⅰ）若點(diǎn)A′落在矩形的對角線OB上時(shí)，OA′的長=　 　；

（Ⅱ）若點(diǎn)A′落在邊AB的垂直平分線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（Ⅲ）若點(diǎn)A′落在邊AO的垂直平分線上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）D（8﹣2，0）；（Ⅲ）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．

【解析】分析：（Ⅰ）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知OA=8、AB=6、OB=10，根據(jù)折疊性質(zhì)可得BA=BA′=6，據(jù)此可得答案；

（Ⅱ）連接AA′，利用折疊的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)證△BAA′是等邊三角形，可得∠A′BD=∠ABD=30°，據(jù)此知AD=ABtan∠ABD=2，繼而可得答案；

（Ⅲ）分點(diǎn)D在OA上和點(diǎn)D在AO延長線上這兩種情況，利用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解可得．

詳解：（Ⅰ）如圖1，由題意知OA=8、AB=6，∴OB=10，由折疊知，BA=BA′=6，∴OA′=6．

故答案為：6；

（Ⅱ）如圖2，連接AA′．

∵點(diǎn)A′落在線段AB的中垂線上，∴BA=AA′．

∵△BDA′是由△BDA折疊得到的，

∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，

∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等邊三角形，

∴∠A′BA=60°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，

∴AD=ABtan∠ABD=6tan30°=2，

∴OD=OA﹣AD=8﹣2，

∴點(diǎn)D（8﹣2，0）；

（Ⅲ）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在OA上時(shí)．

由旋轉(zhuǎn)知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°．

∵點(diǎn)A′在線段OA的中垂線上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，

∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣2，

由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，

則=，即=，

解得：DN=3﹣5，

則OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，

∴D（3﹣1，0）；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在AO延長線上時(shí)，過點(diǎn)A′作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)M，延長AB交所作直線于點(diǎn)N， 則BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋轉(zhuǎn)知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°．

∵點(diǎn)A′在線段OA的中垂線上，∴A′M=A′N=MN=4，

則MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+6，

由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，

則=，即=，

解得：ME=，則OE=MO﹣ME=6+．

∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，

∴△DOE∽△A′ME，

∴=，即=，

解得：DO=3+1，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3﹣1，0）．

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．