Question

如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．
（1）當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB；
（2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△ACP∽△PDB的對(duì)應(yīng)邊成比例和等邊三角形的性質(zhì)可以找到AC、CD、DB的關(guān)系；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等和等邊三角形的性質(zhì)可以求出∠APB的度數(shù)．
解答：解：（1）當(dāng)CD²=AC•DB時(shí)，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即=，
則根據(jù)相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB

（2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度數(shù)為120°．
點(diǎn)評(píng)：此題是開放性試題，要熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．