Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，3)，雙曲線y＝ (x>0)的圖象經(jīng)過BC上的點(diǎn)D與AB交于點(diǎn)E，連接DE，若E是AB的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn)，若△FBC和△DEB相似，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)（2）（0， ）或(0，0)

【解析】試題分析:(1)先求出點(diǎn)E的坐標(biāo),求出反比例函數(shù)解析式,再求出CD=1,即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo),(2) △FBC和△DEB相似可以分兩種情況進(jìn)行求解, ①當(dāng)△FBC∽△DEB時(shí),可得,求出CF,得出F點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出BF的直線解析式,

②當(dāng)△FBC∽△EDB時(shí),可得,求出C,F,OF,得出F點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BF的解析式.

(1)∵四邊形OABC為矩形，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，3)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為.∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)上，∴k＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝.∵四邊形OABC為矩形，∴點(diǎn)D與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，將y＝3代入y＝可得x＝1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)

(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝.若△FBC∽△DEB，則＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝CO－CF＝3－＝，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為；若△FBC∽△EDB，則＝，即＝，∴FC＝3.∵CO＝3，∴點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，0)．綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或(0，0)．