Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A(－4，3)，B(4，4)．

(1)求二次函數(shù)的解析式：

(2)求證：△ACB是直角三角形；

(3)若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：①求二次函數(shù)的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(－4，3)，B(4，4)代人即可． 　　②求證△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的長度，然后用 　　勾股定理及其逆定理去考察． 　�、凼欠翊嬖谝訮、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？先要選擇一點(diǎn)P 　　然后自P點(diǎn)作垂線構(gòu)成Rt△PHD，把兩個(gè)三角形相似作條件，運(yùn)用三角形 　　相似的性質(zhì)去構(gòu)建關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程． 　　解：(1)將A(－4，3)，B(4，4)代人中，整理得： 　　 　　解得 　　∴二次函數(shù)的解析式為：， 　　整理得： 　　(2)由 　　整理 　　∴X1＝－2，X2＝ 　　∴C(－2，0)，D 　　從而有：AC2＝4＋9 　　BC2＝36＋16 　　AC2＋BC2＝13＋52＝65 　　AB2＝64＋1＝65 　　∴AC2＋BC2＝AB2 　　故△ACB是直角三角形 　　(3)設(shè)(X＜0) 　　PH＝ 　　HD＝ 　　AC＝ 　　BC＝ 　�、佼�(dāng)△PHD∽△ACB時(shí)有： 　　即： 　　整理 　　∴ 　　(舍去)此時(shí)， 　　∴ 　　②當(dāng)△DHP∽△ACB時(shí)有： 　　即： 　　整理 　　∴ 　　(舍去)此時(shí)， 　　∴ 　　綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即　 　　點(diǎn)評：這是一個(gè)二次函數(shù)開放性的綜合題，解決問題的思路容易建立，切入點(diǎn)也好找，但運(yùn)算難度較大．出題的老師看準(zhǔn)了我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，那就是每一個(gè)學(xué)生在計(jì)算時(shí)無論簡單與復(fù)雜總是離不開計(jì)算器，所以遇到分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)沒有信心進(jìn)行運(yùn)算，最后還是放棄了．因此在這里要提醒每一位學(xué)生在平時(shí)計(jì)算的練習(xí)中多用心算和筆算，才能提高自己的運(yùn)算能力．

提示：

知識點(diǎn)考察：①二次函數(shù)解析式的確定， 　�、诠垂啥ɡ砑捌淠娑ɡ淼膽�(yīng)用， 　�、巯嗨迫切蔚男再|(zhì)， 　�、茏鴺�(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征， 　�、輶佄锞€與X軸的交點(diǎn)，⑥一元二次方程的解法， 　�、叽怪钡亩x． 　　⑧二元一次方程組的解法． 　　能力考察：①觀察能力，②邏輯思維與推理能力，③書寫表達(dá)能力， 　�、芫C合運(yùn)用知識的能力，⑤分類討論的能力．⑥動點(diǎn)的探求能力 　�、邷�(zhǔn)確的計(jì)算能力．