如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(0,)拋物線y=+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn).與x軸交于點(diǎn)B
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ABP為直角三角形?若存在,直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)試探究在直線AC上是否存在一點(diǎn)M,使得△MOB的周長(zhǎng)最��?若存在,求出的周長(zhǎng)最小值.【提示:拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=-,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-,)】

【答案】分析:(1)拋物線解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)a,c,根據(jù)直線AC解析式求點(diǎn)A、C坐標(biāo),代入拋物線解析式即可;
(2)分析不難發(fā)現(xiàn),△ABP的直角頂點(diǎn)只可能是P,設(shè)P(a,b),作PE⊥AB,利用△APE∽△PBE,利用比例線段建立等量關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)由于B,O是定點(diǎn),BO的長(zhǎng)一定,實(shí)際上就是求BM+OM最小,找出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接OF,交AC于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求,由(2)可知,BC⊥AC,延長(zhǎng)BC到F,使BC=FC,作FG⊥AB,交AB于點(diǎn)G,利用中位線的性質(zhì)可得FG的長(zhǎng),在Rt△GFO中利用勾股定理就可以求出OF的長(zhǎng),從求出△OMB的周長(zhǎng).
解答:解:(1)由題意,得
解得

拋物線的解析式為:y=-;

(2)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)B
∴當(dāng)y=0時(shí),則
0=-解得;
x1=-1,x2=3,
∴B(3,0),
設(shè)P(a,b),則有b=-
則有P(a,-),
∴AE=a+1,BE=3-a,PE=
如圖:作PE⊥AB于E,
∴∠AEP=∠BEP=90°
∵∠APB=90°
∴△APE∽△PBE


解得:a1=0,a2=3,(在x軸上,舍去)a2=2,a4=-1(在x軸上,舍去)
∴P(0,)或P(2,).

(3)由(2)知AC⊥BC,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使CF=BC,連接OF交AC于點(diǎn)M,連接BM,作FG⊥AB于G,
∴FG∥OC,△MOB的周長(zhǎng)最�。�
C△MOB=BO+MO+MB=BO+OF
∵CF=BC
∴GO=BO
∴CO是△BFG的中位線
∴GF=2OC
∵B(3,0),C(0,
∴0B=3,OC=
∴OG=3,GF=2,在Rt△GFO中,由勾股定理,得
OF=
∴OF=
∴C△MOB=+3
∴C△MOB的最小值是:+3.
點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合題,考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式,直角三角形的判定及性質(zhì),軸對(duì)稱的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
5
5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( �。�

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫出結(jié)果).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案