如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B,連接OA,拋物線y=x2從點(diǎn)O沿OA方向平移,與直線x=2交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng).
(1)求線段OA所在直線的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,
①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
②當(dāng)m為何值時(shí),線段PB最短;
(3)當(dāng)線段PB最短時(shí),相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QMA的面積與△PMA的面積相等?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式.
(2)①由于M點(diǎn)在直線OA上,可根據(jù)直線OA的解析式來表示出M點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)镸點(diǎn)是平移后拋物線的頂點(diǎn),因此可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式,P的橫坐標(biāo)為2,將其代入拋物線的解析式中即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).
②PB的長,實(shí)際就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來求出PB最短時(shí),對應(yīng)的m的值.
(3)根據(jù)(2)中確定的m值可知:M、P點(diǎn)的坐標(biāo)都已確定,因此AM的長為定值,若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等,那么Q點(diǎn)到AM的距離和P到AM的距離應(yīng)該相等,因此可分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)Q在直線OA下方時(shí),可過P作直線OA的平行線交y軸于C,那么平行線上的點(diǎn)到OA的距離可相等,因此Q點(diǎn)必落在直線PC上,可先求出直線PC的解析式,然后利用拋物線的解析式,看得出的方程是否有解,如果沒有則說明不存在這樣的Q點(diǎn),如果有解,得出的x的值就是Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中得出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
②當(dāng)Q在直線OA上方時(shí),同①類似,可先找出P關(guān)于A點(diǎn)的對稱點(diǎn)D,過D作直線OA的平行線交y軸于E,那么直線DE上的點(diǎn)到AM的距離都等于點(diǎn)P到AM上的距離,然后按①的方法進(jìn)行求解即可.
(本題也可通過以AP為底,找出和點(diǎn)M到AP的距離相等的兩條直線,然后聯(lián)立拋物線的解析式進(jìn)行求解即可).
解答:解:(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x.

(2)①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在線段OA上移動(dòng),
∴y=2m(0≤m≤2).
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2m).
∴拋物線函數(shù)解析式為y=(x-m)2+2m.
∴當(dāng)x=2時(shí),y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,m2-2m+4).
②∵PB=m2-2m+4=(m-1)2+3,
又∵0≤m≤2,
∴當(dāng)m=1時(shí),PB最短.

(3)當(dāng)線段PB最短時(shí),此時(shí)拋物線的解析式為y=(x-1)2+2
即y=x2-2x+3.
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q,使S△QMA=S△PMA
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x2-2x+3).
①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí),過P作直線PC∥AO,交y軸于點(diǎn)C,
∵PB=3,AB=4,
∴AP=1,
∴OC=1,
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-1).
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3),
∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1.
∵S△QMA=S△PMA
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x-1上.
∴x2-2x+3=2x-1.
解得x1=2,x2=2,
即點(diǎn)Q(2,3).
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合.
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q(2,3),使△QMA與△APM的面積相等.
②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí),
作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱稱點(diǎn)D,過D作直線DE∥AO,交y軸于點(diǎn)E,
∵AP=1,
∴EO=DA=1,
∴E、D的坐標(biāo)分別是(0,1),(2,5),
∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1.
∵S△QMA=S△PMA,
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上.
∴x2-2x+3=2x+1.
解得:x1=2+,x2=2-
代入y=2x+1得:y1=5+2,y2=5-2
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q1(2+,5+2),Q2(2-,5-2
使△QMA與△PMA的面積相等.
綜上所述,拋物線上存在點(diǎn),Q1(2+,5+2),Q2(2-,5-2),Q3(2,3),使△QMA與△PMA的面積相等.
點(diǎn)評:本題考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案