Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，再將所折得的圖形沿EF折疊，使得點(diǎn)D和點(diǎn)A重合．若AB=3，BC=4，則折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：首先由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，證得△BND是等腰三角形，則在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的長(zhǎng)，又由△ANB≌△C′N(xiāo)D，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得MF的長(zhǎng)，又由中位線(xiàn)的性質(zhì)求得EM的長(zhǎng)，則問(wèn)題得解．
解答：解：設(shè)BC′與AD交于N，EF與AD交于M，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
設(shè)AN=x，則BN=DN=4-x，
∵在Rt△ABN中，AB²+AN²=BN²，
∴3²+x²=（4-x）²，
∴x=，
即AN=，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′N(xiāo)D，
∴△ANB≌△C′N(xiāo)D（AAS），
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴，
∴，
∴MF=，
由折疊的性質(zhì)可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME=AB=，
∴EF=ME+MF=+=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．