Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝2，OC＝3．過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．

(1)求過點E、D、C的拋物線的解析式；

(2)將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G．如果EF＝2OG，求點Ｇ的坐標．

(3)對于(2)中的點G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵OD平分∠AOC，∠AOC＝90° 　　∴∠AOD＝∠DOC＝45° 　　∵在矩形ABCD中， 　　∠BAO＝∠B＝∠BOC＝90°，OA＝BC＝2，AB＝OC＝3 　　∴△AOD是等腰Rt△　1分 　　∵∠AOE＋∠BDC＝∠BCD＋∠BDC＝90° 　　∴∠AOE＝∠BCD 　　∴△AED≌△BDC 　　∴AE＝DB＝1 　　∴D(2，2)，E(0，1)，C(3，0)　2分 　　則過D、E、C三點的拋物線解析式為：　3分 　　(2)DH⊥OC于點H， 　　∴∠DHO＝90° 　　∵矩形ABCD中，∠BAO＝∠AOC＝90° 　　∴四邊形AOHD是矩形 　　∴∠ADH＝90°． 　　∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90° 　　∴∠1＝∠3 　　∵AD＝OA＝2， 　　∴四邊形AOHD是正方形． 　　∴△FAD≌△GHD 　　∴FA＝GH　4分 　　∴設(shè)點G(x，0)， 　　∴OG＝x，GH＝2－x 　　∵EF＝2OG＝2x，AE＝1， 　　∴2－x＝2x－1， 　　∴x＝1． 　　∴G(1，0)　5分 　　(3)由題意可知點P若存在，則必在AB上，假設(shè)存在點P使△PCG是等腰三角形 　�、佼旤cP為頂點，既CP＝GP時，易求得P1(2，2)，既為點D時， 　　此時點Q、與點P1、點D重合， 　　∴點Q1(2，2)　6分 　�、诋旤cC為頂點，既CP＝CG＝2時，易求得P2(3，2) 　　∴直線GP2的解析式： 　　求交點Q： 　　可求的交點()和(－1，－2) 　　∵點Q在第一象限 　　∴Q2()　7分 　�、郛旤cG為頂點，既GP＝CG＝2時，易求得P3(1，2) 　　∴直線GP3的解析式： 　　求交點Q： 　　可求的交點() 　　∴Q3()　8分 　　所以，所求Q點的坐標為Q1(2，2)、Q2()、Q3()．