Question

【題目】（本小題滿分10分）已知AC，EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對(duì)角線，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90．

（1）如圖①，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF．

i）求證：△CAE∽△CBF；

ii）若BE=1，AE=2，求CE的長(zhǎng)；

（2）如圖②，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且時(shí)，若BE＝1，AE=2，CE=3，求k的值；

（3）如圖③，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB=∠GEF=45°時(shí)，設(shè)BE=m，AE=n，CE=p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過(guò)程）

Answer 1

【答案】（1）i）證明見(jiàn)試題解析；ii）；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）i）由∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，得到∠ACE=∠BCF，又由于，故△CAE∽△CBF；

ii）由，得到BF=，再由△CAE∽△CBF，得到∠CAE=∠CBF，進(jìn)一步可得到∠EBF=90°，從而有，解得；

（2）連接BF，同理可得：∠EBF=90°，由，得到，，故，從而，得到，代入解方程即可；

（3）連接BF，同理可得：∠EBF=90°，過(guò)C作CH⊥AB延長(zhǎng)線于H，可得：

，，

故，

從而有．

試題解析：（1）i）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF，又∵，∴△CAE∽△CBF；

ii）∵，∴BF=，∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°，∴，解得；

（2）連接BF，同理可得：∠EBF=90°，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，解得；

（3）連接BF，同理可得：∠EBF=90°，過(guò)C作CH⊥AB延長(zhǎng)線于H，可得：

，，

∴，

∴．