Question

自然數(shù)a₁，a₂，…，a₁₀的和為1001，d為a₁，a₂…，a₁₀的最大公約數(shù)，則d的最大值為

91

．

Answer 1

分析：由于d為a₁，a₂…，a₁₀的最大公約數(shù)，所以自然數(shù)a₁，a₂，…，a₁₀的和1001能被d整除，即d是1001=7×11×13的約數(shù)，因?yàn)閐|ak，所以ak≥d，k=1，2，3，…，10，從而1001=a₁+a₂+…+a₁₀≥10d，所以，由d能整除1001得，d僅可能取1，7，11，13，77，91．因?yàn)?001能寫(xiě)成10個(gè)數(shù)的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182，其中每一個(gè)數(shù)都能被91整除，從而可得出答案．

解答：解：由于d為a₁，a₂…，a₁₀的最大公約數(shù)，所以自然數(shù)a₁，a₂，…，a₁₀的和1001能被d整除，
即d是1001=7×11×13的約數(shù)，
因?yàn)閐|ak，所以ak≥d，k=1，2，3，…，10，
從而1001=a₁+a₂+…+a₁₀≥10d，
所以，由d能整除1001得，d僅可能取值1，7，11，13，77，91．
因?yàn)?001能寫(xiě)成10個(gè)數(shù)的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182，
其中每一個(gè)數(shù)都能被91整除，
所以d的最大值為91，
故答案為：91．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了最大公約數(shù)，難度較大，關(guān)鍵是考查學(xué)生的邏輯思維能力．