【題目】已知頂點(diǎn)為A的拋物線y=a(x-)2-2經(jīng)過點(diǎn)B(-,2),點(diǎn)C(,2).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點(diǎn)M,與y軸相交于點(diǎn)E,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F,在直線AB上有一點(diǎn)P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面積;

(3)如圖2,點(diǎn)Q是折線A-B-C上一點(diǎn),過點(diǎn)Q作QN∥y軸,過點(diǎn)E作EN∥x軸,直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N,連接QE,將△QEN沿QE翻折得到△QEN′,若點(diǎn)N′落在x軸上,請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1) y=(x-)2-2;(2)△POE的面積為;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-,)或(-,2)或(,2).

【解析】

(1)將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求得a的值即可得;

(2)由∠OPM=MAFOPAF,據(jù)此證OPE∽△FAE=

,即OP=FA,設(shè)點(diǎn)P(t,-2t-1),列出關(guān)于t的方程解之可得;

(3)分點(diǎn)QAB上運(yùn)動、點(diǎn)QBC上運(yùn)動且Qy軸左側(cè)、點(diǎn)QBC上運(yùn)動且點(diǎn)Qy軸右側(cè)這三種情況分類討論即可得.

(1)把點(diǎn)B(-,2)代入y=a(x-)2-2,

解得a=1,

∴拋物線的表達(dá)式為y=(x-)2-2,

(2)y=(x-)2-2A(,-2),

設(shè)直線AB表達(dá)式為y=kx+b,代入點(diǎn)A,B的坐標(biāo)得,

解得,

∴直線AB的表達(dá)式為y=-2x-1,

易求E(0,-1),F(xiàn)(0,-),M(-,0),

若∠OPM=MAF,

OPAF,

∴△OPE∽△FAE,

,

OP=FA=

設(shè)點(diǎn)P(t,-2t-1),則,

解得t1=-,t2=-,

由對稱性知,當(dāng)t1=-時,也滿足∠OPM=MAF,

t1=-,t2=-都滿足條件,

∵△POE的面積=OE·|t|,

∴△POE的面積為;

(3)如圖,若點(diǎn)QAB上運(yùn)動,過N′作直線RSy軸,交QR于點(diǎn)R,交NE的延長線于點(diǎn)S,

設(shè)Q(a,-2a-1),則NE=-a,QN=-2a.

由翻折知QN′=QN=-2a,N′E=NE=-a,

由∠QN′E=N=90°易知QRN′∽△N′SE,

,即===2,

QR=2,ES= ,

NE+ES=NS=QR可得-a+=2,

解得a=-

Q(-,),

如圖,若點(diǎn)QBC上運(yùn)動,且Qy軸左側(cè),過N′作直線RSy軸,交BC于點(diǎn)R,交NE的延長線于點(diǎn)S.

設(shè)NE=a,則N′E=a.

易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,

QR=,SE=-a.

RtSEN′中,(-a)2+12=a2,

解得a=

Q(-,2),

如圖,若點(diǎn)QBC上運(yùn)動,且點(diǎn)Qy軸右側(cè),過N′作直線RSy軸,交BC于點(diǎn)R,交NE的延長線于點(diǎn)S.

設(shè)NE=a,則N′E=a.

易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,

QR=,SE=-a.

RtSEN′中,(-a)2+12=a2,

解得a=

Q(,2).

綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-,)(-,2)(,2).

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3)在垃圾桶使用壽命相同的情況下,哪種方案省錢?

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