Question

【題目】已知頂點(diǎn)為A的拋物線y＝a(x－)2－2經(jīng)過點(diǎn)B(－，2)，點(diǎn)C(，2)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面積；

(3)如圖2，點(diǎn)Q是折線A－B－C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，過點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若點(diǎn)N′落在x軸上，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y＝(x－)2－2；(2)△POE的面積為或；(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－，)或(－，2)或(，2)．

【解析】

（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求得a的值即可得；

（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，據(jù)此證△OPE∽△FAE得=

＝＝，即OP=FA，設(shè)點(diǎn)P（t，-2t-1），列出關(guān)于t的方程解之可得；

（3）分點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動、點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動且Q在y軸左側(cè)、點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動且點(diǎn)Q在y軸右側(cè)這三種情況分類討論即可得．

（1）把點(diǎn)B(－，2)代入y＝a(x－)2－2，

解得a＝1，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝(x－)2－2，

（2）由y＝(x－)2－2知A(，－2)，

設(shè)直線AB表達(dá)式為y＝kx＋b，代入點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得，

解得，

∴直線AB的表達(dá)式為y＝－2x－1，

易求E(0，－1)，F(xiàn)(0，－)，M(－，0)，

若∠OPM＝∠MAF，

∴OP∥AF，

∴△OPE∽△FAE，

∴，

∴OP＝FA＝ ，

設(shè)點(diǎn)P(t，－2t－1)，則，

解得t1＝－，t2＝－，

由對稱性知，當(dāng)t1＝－時，也滿足∠OPM＝∠MAF，

∴t1＝－，t2＝－都滿足條件，

∵△POE的面積＝OE·|t|，

∴△POE的面積為或；

（3）如圖，若點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動，過N′作直線RS∥y軸，交QR于點(diǎn)R，交NE的延長線于點(diǎn)S，

設(shè)Q(a，－2a－1)，則NE＝－a，QN＝－2a.

由翻折知QN′＝QN＝－2a，N′E＝NE＝－a，

由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，

∴＝＝，即＝=＝2，

∴QR＝2，ES＝ ，

由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2，

解得a＝－，

∴Q(－，)，

如圖，若點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動，且Q在y軸左側(cè)，過N′作直線RS∥y軸，交BC于點(diǎn)R，交NE的延長線于點(diǎn)S.

設(shè)NE＝a，則N′E＝a.

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝－a.

在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，

解得a＝，

∴Q(－，2)，

如圖，若點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動，且點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，過N′作直線RS∥y軸，交BC于點(diǎn)R，交NE的延長線于點(diǎn)S.

設(shè)NE＝a，則N′E＝a.

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝－a.

在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，

解得a＝，

∴Q(，2)．

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－，)或(－，2)或(，2)．