Question

【題目】已知頂點為A的拋物線y＝a(x－)2－2經過點B(－，2)，點C(，2)．

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1，直線AB與x軸相交于點M，與y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面積；

(3)如圖2，點Q是折線A－B－C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若點N′落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y＝(x－)2－2；(2)△POE的面積為或；(3)點Q的坐標為(－，)或(－，2)或(，2)．

【解析】

（1）將點B坐標代入解析式求得a的值即可得；

（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，據此證△OPE∽△FAE得=

＝＝，即OP=FA，設點P（t，-2t-1），列出關于t的方程解之可得；

（3）分點Q在AB上運動、點Q在BC上運動且Q在y軸左側、點Q在BC上運動且點Q在y軸右側這三種情況分類討論即可得．

（1）把點B(－，2)代入y＝a(x－)2－2，

解得a＝1，

∴拋物線的表達式為y＝(x－)2－2，

（2）由y＝(x－)2－2知A(，－2)，

設直線AB表達式為y＝kx＋b，代入點A，B的坐標得，

解得，

∴直線AB的表達式為y＝－2x－1，

易求E(0，－1)，F(xiàn)(0，－)，M(－，0)，

若∠OPM＝∠MAF，

∴OP∥AF，

∴△OPE∽△FAE，

∴，

∴OP＝FA＝ ，

設點P(t，－2t－1)，則，

解得t1＝－，t2＝－，

由對稱性知，當t1＝－時，也滿足∠OPM＝∠MAF，

∴t1＝－，t2＝－都滿足條件，

∵△POE的面積＝OE·|t|，

∴△POE的面積為或；

（3）如圖，若點Q在AB上運動，過N′作直線RS∥y軸，交QR于點R，交NE的延長線于點S，

設Q(a，－2a－1)，則NE＝－a，QN＝－2a.

由翻折知QN′＝QN＝－2a，N′E＝NE＝－a，

由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，

∴＝＝，即＝=＝2，

∴QR＝2，ES＝ ，

由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2，

解得a＝－，

∴Q(－，)，

如圖，若點Q在BC上運動，且Q在y軸左側，過N′作直線RS∥y軸，交BC于點R，交NE的延長線于點S.

設NE＝a，則N′E＝a.

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝－a.

在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，

解得a＝，

∴Q(－，2)，

如圖，若點Q在BC上運動，且點Q在y軸右側，過N′作直線RS∥y軸，交BC于點R，交NE的延長線于點S.

設NE＝a，則N′E＝a.

易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，

∴QR＝，SE＝－a.

在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2，

解得a＝，

∴Q(，2)．

綜上，點Q的坐標為(－，)或(－，2)或(，2)．