Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG⊥AE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使∠CFB=45°

（1）求證：AG=FG；

（2）如圖2延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M，連接DF、BM，若C為FM中點(diǎn)，BM=10，求FD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，根據(jù)已知條件可證明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因?yàn)锽H=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，進(jìn)而證明AG=FG；

（2）過(guò)D作DQ⊥MF交MF延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求出FD的長(zhǎng)．

試題解析：（1）過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，

∵∠CFB=45°

∴CH=HF，

∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE，

∵AG⊥BF，CH⊥BF，

∴∠AGB=∠BHC=90°，

在△AGB和△BHC中，

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，

∴△AGB≌△BHC，

∴AG=BH，BG=CH，

∵BH=BG+GH，

∴BH=HF+GH=FG，

∴AG=FG；

（2）∵CH⊥GF，

∴CH∥GM，

∵C為FM的中點(diǎn)，

∴CH=GM，

∴BG=GM，

∵BM=10，

∴BG=2，GM=4，

∴AG=4，AB=10，

∴HF=2，

∴CF=2×=2，

∴CM=2，

過(guò)B點(diǎn)作BK⊥CM于K，

∵CK=CM=CF=，

∴BK=3，

過(guò)D作DQ⊥MF交MF延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=3，

DQ=CK=，

∴QF=3-2=，

∴DF==2．