Question

已知：拋物線y＝ax²＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(－1，0)．

⑴求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)．

⑵點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式．

⑶點(diǎn)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在⑵中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

�、乓李}意，拋物線的對(duì)稱軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(－1，0)，∴由拋物線的對(duì)稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)． 　　⑵∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(－1，0)， 　　．∴t＝3a，，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，3a)．又梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，3a)．∵梯形ABCD的面積為9，又AB＝2，CD＝4，，，∴a＝±1，∴所求拋物線的解析式為或． 　�、窃O(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x0，y0)，依題意，x0＜0，y0＞0，且，． 　　①設(shè)點(diǎn)E在拋物線上，則．解方程組得，， 　　∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱軸x＝－2的同側(cè)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸x＝－2上存在一點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最小． 　　∵AE長(zhǎng)為定值，∴要使△APE的周長(zhǎng)最小，只需PA＋PE最�。�∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x＝－2的對(duì)稱點(diǎn)是B(－3，0)，∴由幾何知識(shí)可知，點(diǎn)P是直線BE與對(duì)稱軸x＝－2的交點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為y＝mx＋n，則，解得，∴直線BE的解析式為，把x＝－2代入上式，得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為． 　�、谠O(shè)點(diǎn)E在拋物線上，則．解方程組消去y0，得，∵△＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根．綜上所述，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使△APE的周長(zhǎng)最�。�