Question

如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC，連接DE．

（1）求證：△ACD≌△BDE；

（2）求∠BED的度數(shù)；

（3）若過E作EF⊥AB于F，BF=1，直接寫出CE的長．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ACD≌△BDE即可；

（2）根據(jù)全等三角形得出AC=BD，進而得出BD=BC，利用角的計算即可解答；

（3）過E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF的長，根據(jù)題意求出∠CED=∠DEF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出EH=EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案．

【解答】證明：（1）在△ACD與△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（SAS），

（2）∵△ACD≌△BDE，

∴AC=BD，CD=DE，

∵AC=BC，

∴BD=BC，

∴∠BCD=67.5°，

∴∠CED=∠BCD=67.5°，

∴∠BED=112.5°；

（3）過E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，

∵EF⊥AB，∠B=45°，

∴EF=BF=1，

∵∠FEB=45°，∠CED=67.5°，

∴∠DEF=67.5°，

∴∠CED=∠DEF，又DH⊥BC，EF⊥AB，

∴EH=EF=1，

∵DC=DE，DH⊥BC，

∴CE=2EH=2．

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．