Question

（2013•泰州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn)．
（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x，BM²=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化．當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似；
（2）如解答圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，由此構(gòu)造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最小值；
（3）如解答圖所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，須滿足的條件是“BE＞MN”．分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍．

解答：（1）證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ．

（2）解：∵△ADP∽△ABQ，
∴

AD

AB

=

DP

QB

，即

10

20

=

x

QB

，解得QB=2x．
∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD-DP=20-x．
如解答圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，
∵M(jìn)N⊥QC，CD⊥QC，點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，∴點(diǎn)N為QC中點(diǎn)，MN為中位線，
∴MN=

1

2

PC=

1

2

（20-x）=10-

1

2

x，
BN=

1

2

QC-BC=

1

2

（BC+QB）-BC=

1

2

（10+2x）-10=x-5．
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=（10-

1

2

x）²+（x-5）²=

5

4

x²-20x+125，
∴y=

5

4

x²-20x+125（0＜x＜20）．
∵y=

5

4

x²-20x+125=

5

4

（x-8）²+45，
∴當(dāng)x=8即DP=8時(shí)，y取得最小值為45，BM的最小值為

45

=3

5

．

（3）解：設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)E．
如解答圖所示，點(diǎn)M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BE＞MN．
∵△ADP∽△ABQ，
∴

AD

AB

=

DP

QB

，即

10

a

=

8

QB

，解得QB=

4

5

a．
∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP，
∴

BE

PC

=

QB

QC

，即

BE

a-8

=

4 5 a

4 5 a+10

，解得BE=

2a(a-8)

2a+25

．
∵M(jìn)N為中位線，∴MN=

1

2

PC=

1

2

（a-8）．
∵BE＞MN，∴

2a(a-8)

2a+25

＞

1

2

（a-8），解得a＞12.5．
∴當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，a的取值范圍為：a＞12.5．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線、勾股定理、二次函數(shù)的最值、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．解題關(guān)鍵是：第（2）問(wèn)中，由BM²=y，容易聯(lián)想到直角三角形與勾股定理；由最值容易聯(lián)想到二次函數(shù)；第（3）問(wèn)中需要明確“點(diǎn)M落在矩形ABCD外部”所要滿足的條件．