Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，

3

）兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=

4 3

3

，求點C的坐標；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，

3

）兩點，所以可設y=kx+b，將A、B的坐標代入，利用方程組即可求出答案；
（2）因為點C為線段AB上的一動點，CD⊥x軸于點D，所以可設點C坐標為（x，-

3

3

x+

3

），那么OD=x，CD=-

3

3

x+

3

，利用梯形的面積公式可列出關于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（3）因為∠AOB=90°，所以以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似需分情況探討：
當∠OBP=90°時，如圖
①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，P₁（3，

3

3

）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1，P₂（1，

3

）．
③過點P作OP⊥BC于點P，此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，OP=

3

BP，過點P作PM⊥OA于點M，∠OPM=30°，OM=

1

2

OP，PM=

3

OM，從而求得P的坐標．
④若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，所以PM=

3

3

OM，P₄（

3

4

，

3

4

）；當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．

解答：解：（1）設直線AB解析式為：y=kx+b，
把A，B的坐標代入得k=-

3

3

，b=

3

所以直線AB的解析為：y=-

3

3

x+

3

．

（2）方法一：設點C坐標為（x，-

3

3

x+

3

），那么OD=x，CD=-

3

3

x+

3

．
∴S_梯形OBCD=

(OB+CD)×OD

2

=-

3

6

x2+

3

x．
由題意：-

3

6

x2+

3

x=

4 3

3

，
解得x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，

3

3

）

方法二：∵S△AOB=

1

2

OA×OB=

3 3

2

，S_梯形OBCD=

4 3

3

，∴S△ACD=

3

6

．
由OA=

3

OB，得∠BAO=30°，AD=

3

CD．
∴S_△ACD=

1

2

CD×AD=

3

2

CD2=

3

6

．可得CD=

3

3

．
∴AD=1，OD=2．∴C（2，

3

3

）．

（3）當∠OBP=90°時，如圖

①若△BOP∽△BAO，
則∠BOP=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）．
②若△BPO∽△BAO，
則∠BPO=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1．
∴P₂（1，

3

）．

當∠OPB=90°時
③過點P作OP⊥BA于點P（如圖），

此時△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過點P作PM⊥OA于點M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，
OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

；PM=

3

OM=

3 3

4

．∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）．

方法二：設P（x，-

3

3

x+

3

），得OM=x，
PM=-

3

3

x+

3

，
由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM=

PM

OM

=

- 3 3 x+ 3

x

，tan∠ABO=

OA

OB

=

3

．
∴-

3

3

x+

3

=

3

x，解得x=

3

4

．此時P₃（

3

4

，

3 3

4

）．

④若△POB∽△OBA（如圖），
則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=

3

3

OM=

3

4

．
∴P₄（

3

4

，

3

4

）（由對稱性也可得到點P₄的坐標）．
當∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）．

點評：本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和相似三角形的有關知識，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．