Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半徑為2，則△ABC面積的最大值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：過(guò)C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面積最大，只要CM取最大值即可，畫出CM，求出等邊三角形ABC，求出AB和CM，關(guān)鍵三角形的面積公式求出即可．
解答：過(guò)C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已確定，
∴要使△ACB的面積最大，只要CM取最大值即可，
如圖所示，當(dāng)CM過(guò)圓心O時(shí)，CM最大，
∵CM⊥AB，CM過(guò)O，
∴AM=BM（垂徑定理），
∴AC=BC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
設(shè)AB=BC=AC=a，
則AM=BM=a，由勾股定理得：CM=a，
在Rt△OBM中，OB=2，OM=a-2，bm=a，由勾股定理得：（a-2）²+（a）²=2²，
a=2，
即AB=2，CM=3，
則△ABC的面積是×AB×CM=×2×3=3，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，垂徑定理等等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．