Question

一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ACB的斜邊AB的中點處，設(shè)AC=BC=a．

（1）如圖①，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為

 

；
（2）如圖①中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖②，此時重疊部分的面積為

 

；
（3）如果將△MNK繞頂點M旋轉(zhuǎn)到不同于的位置圖①、圖②，如圖③，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)：底邊上的中線與底邊上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=

2

2

AC=

2

2

a，則重疊部分的面積是△ACB的面積的一半，為

1

4

a²．
（2）易得重疊部分是正方形，邊長為

1

2

a，面積為

1

4

a²．
（3）過點M分別做AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積．

解答：解：（1）∵AM=MC=

2

2

AC=

2

2

a，
∴重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為

1

4

a²．

（2）∵疊部分是正方形
∴邊長為

1

2

a，面積為

1

4

a²．

（3）猜想：重疊部分的面積為

1

4

a²．
理由如下：
過點M分別做AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G，
設(shè)MN與AC的交點為E，MK與BC的交點為F，

∵M(jìn)是△ABC斜邊AB的中點，AC=BC=a
∴MH=MG=

1

2

a
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，即∠HME=∠GMF
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積
∵正方形CGMH的面積是MG•MH=

1

2

a×

1

2

a=

1

4

a²
∴陰影部分的面積是

1

4

a²．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的面積公式，正方形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．