如圖,AB為⊙O的直徑,CD與⊙O相切于點(diǎn)C,且OD⊥BC,垂足為F,OD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)證明:BE=CE;
(2)證明:∠D=∠AEC;
(3)若⊙O的半徑為5,BC=8,求△CDE的面積.

【答案】分析:(1)根據(jù)OD⊥BC運(yùn)用垂徑定理得到弧BE=弧CE,再根據(jù)等弧對(duì)等弦證明;
(2)結(jié)合切線(xiàn)的性質(zhì)定理和等角的余角相等,把∠D轉(zhuǎn)化為∠OCB,再根據(jù)等邊對(duì)等角和圓周角定理的推論進(jìn)行證明;
(3)根據(jù)垂徑定理可以求得DE邊上的高CF,只需求得DE的長(zhǎng).要求DE的長(zhǎng),求得OD的長(zhǎng)減去OE的長(zhǎng)就可.根據(jù)勾股定理首先求得OF的長(zhǎng),再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得OD的長(zhǎng).
解答:(1)證明:∵BC是⊙O的弦,半徑OE⊥BC,
∴BE=CE.

(2)證明:連接OC,
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C,
∴∠OCD=90°.
∴∠OCB+∠DCF=90°.
∵∠D+∠DCF=90°,
∴∠OCB=∠D,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠B,
∵∠B=∠AEC,
∴∠D=∠AEC.

(3)解:在Rt△OCF中,OC=5,CF=4,
∴OF==3.
∵∠COF=∠DOC,∠OFC=∠OCD,
∴Rt△OCF∽R(shí)t△ODC.
,即
∴DE=OD-OE=-5=
∴S△CDE=•DE•CF=××4=
點(diǎn)評(píng):此題綜合運(yùn)用了垂徑定理、切線(xiàn)的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)和判定.
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