Question

【題目】已知，如圖①，△ABC、△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形（其頂點(diǎn)B、E重合），∠BAC=∠AED=90°，O為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，連接OF．

（1）問題發(fā)現(xiàn)
①如圖①，線段OF與EC的數(shù)量關(guān)系為；
②將△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②，OF與EC的數(shù)量關(guān)系為；

（2）類比延伸
將圖①中△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置，請(qǐng)判斷線段OF與EC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

（3）拓展探究
將圖①中△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，0°≤α≤90°，AD= ，△AED在旋轉(zhuǎn)過程中，存在△ACD為直角三角形，請(qǐng)直接寫出線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）OF= EC；OF= EC
（2）

解：OF= EC．

證明：在等腰直角△ADE中，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，

∴AF= AD= AE，

在等腰直角△ABC中，O為BC的中點(diǎn)，

如圖1，

連接AO，

∴AO= AC，∠BAO=∠CAO=45°，

∵∠DAE=45°，

∴∠DAE=∠CAO，

∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO，

即∠DAO=∠CAE，

∵AE=AC，

∴AF=AO，

∴ = ，

∴△AFO∽△AEC，

∴ = = ，

∴OF= EC，

（3）

解：∵△ABC和△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

∴AD=BC= ，

∴ED=AE=AB=AC=1，

△ACD為直角三角形時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)AD與AB重合時(shí)，如圖2，

連接CD，

∵△ACD為直角三角形，AD⊥AC，

即將△ADE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，

∵AD= ，AC=1，

∴由勾股定理可得CD= = ；

②當(dāng)AE與AC重合時(shí)，如圖3，

△ACD為直角三角形，AC⊥CD，

即將△ADE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)CD=AC=1．

即：CD的長(zhǎng)為 或1．

【解析】解：（1）①∵△ABC、△AED是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，
∴AD=BC，
∵O為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
∴AF=OC，
∵∠BAC=∠AED=90°，
∴AD∥BC，
∴四邊形AFOC是平行四邊形，
∴OF=AC= EC，
故答案：OF= EC；②如圖，

∵AO= AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠CAO，
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO，
即∠DAO=∠CAE，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴ = ，
∴△AFO∽△AEC，
∴ = = ，
∴OF= EC，
故答案OF= EC
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．