如圖,AB∥CD,∠ACB=∠BDC=Rt∠,CE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥CB于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABC∽△BCD;
(2)已知tan∠ABC=2,求
DFCE
的值.
分析:(1)先由平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠BCD,再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△ABC∽△BCD;
(2)先由tan∠ABC=2,在直角△ABC中根據(jù)正切函數(shù)的定義設(shè)AC=2k,則BC=k,根據(jù)勾股定理求出AB=
5
k
,再由△ABC∽△BCD,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠BAC=∠CBD,則sin∠BAC=sin∠CBD,然后根據(jù)CE=BD及正弦函數(shù)的定義列出比例式,即可求出
DF
CE
的值.
解答:(1)證明:∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD,
又∵∠ACB=∠BDC=Rt∠,
∴△ABC∽△BCD;

(2)解:∵tan∠ABC=2,
∴可設(shè)AC=2k,則BC=k.
∵∠ACB=Rt∠,
∴AB2=AC2+BC2=5k2
∴AB=
5
k

∵△ABC∽△BCD,
∴∠BAC=∠CBD,∠ACB=∠BDC=90°,
∴sin∠BAC=sin∠CBD,
∵CE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥CB于點(diǎn)F,
DF
CE
=
DF
BD
=
BC
AB
=
k
5
k
=
5
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,三角函數(shù)的定義,難度適中,證明出△ABC∽△BCD是解題的關(guān)鍵.
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