Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線的一支在第一象限交梯形對(duì)角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E.（1）填空：雙曲線的另一支在第_____象限，k的取值范圍是_____；

（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)？陰影部分面積S最小？

（3）若， =2，求雙曲線的解析式.

Answer 1

【答案】(1) 三，k＞0 (2) 當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最小 (3) y=

【解析】【試題分析】

（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，k>0,雙曲線在一、三象限；k<0,在二、四象限.根據(jù)題意，該雙曲線的另一支一定在第三象限，且k>0;

（2）由題意得：A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，根據(jù)反比例函數(shù) ，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， ），則陰影部分的面積為

S△ACE+S△OBE=×（2-）×（2-）+×2×= +，當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)， 最小，最小值為；即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn).

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a， ），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a， ）， 則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入y=得，x=,得A點(diǎn)坐標(biāo)為（,），根據(jù)=2，得×（2a-）×=2，解得k=,

【試題解析】

（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，

而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），

∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），把y=2代入y=，得，x=,

把x=2代入y=得，y=，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），

E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2， ），

∴=S△ACE+S△OBE，

=×（2-）×（2-）+×2×，

= +，

當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)， 最小，最小值為；

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，

∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最小；

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a， ），

∵=，

∴2OD=OC，

即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a， ），

∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

把y=代入y=得，x=,

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（,）

∵=2，

∴×（2a-）×=2，

∴k=,

∴雙曲線的解析式為y=.