在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)（x>0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A.

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由.

（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②反比例函數(shù)（x>0）圖象上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的，若存在，直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.

 

 

【答案】

詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由⊙始終與軸相切，得，由⊙始終與軸相切于點(diǎn)，得，易得出四邊形是矩形，再有圓的兩半徑，可得四邊形是正方形.

①由四邊形是菱形可得：，求三點(diǎn)的坐標(biāo)，只要求出菱形的邊長(zhǎng)即圓的半徑，問(wèn)題就迎刃而解了.可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作，則，，由勾股定理得，即，解方程求出的值，在利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出求三點(diǎn)的坐標(biāo).

②、如下圖，根據(jù)（2）①可求菱形的面積的，即.由于點(diǎn)是兩定點(diǎn)，若上存在點(diǎn)使，那么無(wú)論點(diǎn)在何位置都是與同底等高的三角形，由圖可以看出有兩種情況：即點(diǎn)分別位于的左、右兩側(cè)時(shí)，與的面積相等。因此可以過(guò)點(diǎn)分別作的平行線，該平行線與雙曲線的交點(diǎn)即點(diǎn)的位置，由于先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求直線的解析式，最后用雙曲線與直線的解析式構(gòu)建方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）解：四邊形為正方形

∵⊙與軸相切

∴

∵與軸相切與于點(diǎn)

∴

∵

∴四邊形是矩形

∵

∴四邊形是菱形

∴四邊形是正方形.

①解：∵四邊形是菱形

∴

∴和是等邊三角形

∴

過(guò)點(diǎn)作,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則

∵在中，

∴

解得：

∴

∴

∵點(diǎn)在第一象限

∴

∴，，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

②存在點(diǎn)使的面積等于菱形面積的，

點(diǎn)的坐標(biāo)是或.

考點(diǎn)：1、正方形的判定.2、菱形的性質(zhì).3、平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

首先，我們看兩個(gè)問(wèn)題的解答：
問(wèn)題1：已知x＞0，求x+
3
x
的最小值．
問(wèn)題2：已知t＞2，求
t2-5t+9
t-2
的最小值．
問(wèn)題1解答：對(duì)于x＞0，我們有：x+
3
x
=(
x
-
3
x
)2+2
3
≥2
3
．當(dāng)
x
=
3
x
，即x=
3
時(shí)，上述不等式取等號(hào)，所以x+
3
x
的最小值2
3
．
問(wèn)題2解答：令x=t-2，則t=x+2，于是
t2-5t+9
t-2
=
(x+2)2-5(x+2)+9
x
=
x2-x+3
x
=x+
3
x
-1．
由問(wèn)題1的解答知，x+
3
x
的最小值2
3
，所以
t2-5t+9
t-2
的最小值是2
3
-1．
弄清上述問(wèn)題及解答方法之后，解答下述問(wèn)題：
在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k＞0，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面積的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OCBA的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B出發(fā)，分別沿A→B，B→C運(yùn)動(dòng)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△EBF的面積為S．
①試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在直角坐標(biāo)系xoy中，函數(shù)y=4x的圖象與反比例函數(shù)y=
kx
（k＞0）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B（如圖），其中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，再過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•北京二模）已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（8，0）、B（0，6），點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，AB=AC．動(dòng)點(diǎn)M在x軸上從點(diǎn)C向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜10）．
（1）設(shè)△AMN的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系解析式；
（2）求四邊形MNBC的面積最小是多少？
（3）求時(shí)間t為何值時(shí)，△AMN是等腰三角形？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鞍山三模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，A、B是x軸上的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓交y軸于C，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x2-mx+n．方程x2-mx+n=0的兩根倒數(shù)和為-4．
（1）求n的值；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在此線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切？若存在，求出此圓的半徑；若不存在，說(shuō)明理由．

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