Question

如左圖，拋物線y=x²的頂點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn)，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，AB=2AD．

（1）求矩形ABCD的面積；
（2）如圖，若將拋物線“y=x²”，改為拋物線“y=x²+bx+c”，其他條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積；
（3）若將拋物線“y=x²+bx+c”改為拋物線“y=ax²+bx+c”，其他條件不變，請(qǐng)猜想矩形ABCD的面積（用a、b、c表示，并直接寫出答案）．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²的頂點(diǎn)為P，
∴P（0，0）；
設(shè)DP=AD=m，則AB=CD=2m；
∴D（-m，0），A（-m，m），
由于點(diǎn)A在拋物線的圖象上，則：
（-m）²=m，
解得m=0（舍去），m=1，
∴矩形ABCD的面積為：AB•AD=2m²=2．

（2）矩形的面積不變，仍為2，理由如下：
易知P（-，），
設(shè)DP=AD=m，同（1）可得A（--m，+m），
代入拋物線的解析式中，得：
（--m）²+b（--m）+c=+m，
整理得：m²=m，
解得m=0（舍去），m=1；
故矩形ABCD的面積為：AB•AD=2m²=2．

（3）矩形的面積為，理由如下：
設(shè)DP=AD=m，同（1）（2）可得：A（--m，+m）；
代入拋物線的解析式中，得：
a（--m）²+b（--m）+c=+m，
整理得：am²=m，
解得m=0（舍去），m=；
故矩形ABCD的面積為：AB•AD=2m²=．
分析：（1）根據(jù)拋物線的特點(diǎn)知P（0，0），可設(shè)OD=AD=m，根據(jù)AB=2AD，可分別表示出D、A的坐標(biāo)，由于A在拋物線上，將其坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可求得m的值，進(jìn)而可得到矩形的面積．
（2）參照（1）的思路，首先表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)DP=AD=m，然后表示出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入拋物線的解析式中，求得m的值，進(jìn)而可求出矩形ABCD的面積．
（3）方法同（2）．
點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵，是能夠理解拋物線和矩形的對(duì)稱性，把握好“AB=2AD”這個(gè)條件，難度適中．