Question

（2000•紹興）如圖，以⊙O兩條互相垂直的直徑所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)軸交⊙O于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)P在弧CD上，連PA交y軸于點(diǎn)E，連CP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F．
（1）求∠FPE的度數(shù)；
（2）求證：OB²=OE•OF；
（3）若⊙O的半徑為，以線段OE，OF的長(zhǎng)為根的一元二次方程為x²-x+m=0，求直線CF的解析式；
（4）在（3）的條件下，過點(diǎn)P作⊙O的切線PM與x軸交于點(diǎn)M，求△PCM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理可知∠APC=90°，很顯然∠FPE=90°．
（2）很顯然本題要證的是△OCF和△OEA相似，這兩個(gè)三角形中已知的條件有一組直角，而∠OAE和∠OCF是一組對(duì)頂角的余角因此也相等，得出這兩個(gè)三角形相似后可知：OA•OC=OE•OF，而OA=OB=OC，由此可得證．
（3）根據(jù)韋達(dá)定理可知OE•OF=m，根據(jù)（2）的結(jié)論可知：OE•OF=3，因此m=3，據(jù)此可求出OE，OF的長(zhǎng)，即可得出F的坐標(biāo)．
根據(jù)C、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式．
（4）根據(jù)（2）可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能求出直線AE的解析式，聯(lián)立直線CF的解析式即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
連接OP，則OP⊥PM，可先求出直線OP的解析式，然后根據(jù)OP⊥PM得出直線PM的解析式即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
已知了M點(diǎn)的坐標(biāo)就能求出MC的長(zhǎng)，然后根據(jù)P點(diǎn)縱坐標(biāo)即可求出△MCP的面積．
（另一種解法：先在直角三角形APC中，用AC的長(zhǎng)和∠CAP的余弦值求出AP的長(zhǎng)，同理求出PN，AN的長(zhǎng)，即可得出ON的長(zhǎng)．然后在直角三角形OPM中根據(jù)射影定理求出MN的長(zhǎng)，即可求出MC的長(zhǎng)，已知了MC和PN的長(zhǎng)即可求出三角形PMC的面積．）
解答：解：（1）根據(jù)圓周角定理：∠APC=90°，∴∠FPE=90°．

（2）∵∠OAE=∠PFE=90°-∠OEA=90°-∠PEF，
∴∠OAE=∠EFP．
∵∠AOE=∠FOC=90°，
∴△AOE∽△FOC．
∴．
∵OA=OB=OC，
∴OB²=OE•OF．

（3）由題意知：OE•OF=m=OB²=3，
∴m=3．
∴x²-x+3=0，解得x=，x=2．
∵OF＞OE，
∴OE=，OF=2，即E（0，-），F(xiàn)（0，-2）；
設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，易知：C（-，0），則有：
，解得．
∴直線CF的解析式為y=-2x-2．

（4）過P作PN⊥x軸于N．
在直角三角形OAE中，OA=，OE=，因此AE=．
在直角三角形ACP中，AP=AC•cos∠OAE=AC•=2•=．
在直角三角形APN中，PN=AP•sin∠OAE=AP•=•=；
AN=AP•cos∠OAE=•=，
∴ON=AN-OA=．
在直角三角形MPO中，根據(jù)射影定理可得：
PN²=ON•MN，∴MN=，
∴MC=MN+PN-OC=．
∴S_△PCM=•MC•PN=××=．
點(diǎn)評(píng)：本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查了圓的相關(guān)知識(shí)和圖形面積的求法，難度適中．