Question

如圖，一次函數(shù)圖象交反比例函數(shù)圖象于點M、N（N在M右側(cè)），分別交x軸、y軸于點C、D．過點M、N作ME、NF分別垂直x軸，垂足為E、F．再過點E、F作EG、FH平行MN直線，分別交y軸于點G、H，ME交FH于點K．
（1）如果線段OE、OF的長是方程a²-4a+3=0的兩個根，求該一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點M、N的橫坐標分別為m、n，試探索四邊形MNFK面積與四邊形HKEG面積兩者的數(shù)量關(guān)系；
（3）求證：MD=CN．

Answer 1

解：（1）∵a²-4a+3=0，解得a₁=1，a₂=3，OE=1，OF=3
∴M（1，6），N（3，2）
∴直線MN解析式y(tǒng)=-2x+8；

（2）∵HF∥CD，NF∥ME，EG∥DM
∴四邊形DNFH、DMEG、DMKH為平行四邊形，
∴設(shè)S_DMEG=ME•OE==6
S_DNFH=NF•OF==6
∴S_MNFK=S_HKEG；

（3）①幾何法：OE=m，OF=n，EF=n-m，ME=，NF=，
設(shè)FC=a，
∵△CNF∽△CME，
∴，即，得a=m
∵△EGO≌△CNF，EG=MD，得MD=CN
或②代數(shù)法：設(shè)直線MN為y=kx+b，．得
得D（0，）C（m+n，0）
DM=，
CN=
∴DM=CN．
分析：（1）解方程a²-4a+3=0可以求出OE、OF，根據(jù)反比例函數(shù)解析式可以求出M，N的坐標，再利用待定系數(shù)法就求出了直線MN的解析式；
（2）容易知道DNFH、DMEG、DMKH為平行四邊形，根據(jù)M、N在反比例函數(shù)的圖象上，利用平行四邊形的面積公式就可以求出它們的面積，從而確定兩者的數(shù)量關(guān)系；
（3）此題既可以用幾何方法，也可以用代數(shù)方法．幾何方法設(shè)OE=m，OF=n，F(xiàn)C=a，然后用m、n表示ME、NF，然后利用△CNF∽△CME的對應邊成比例可以得到a=m，再證明△EGO≌△CNF，就可以得到MD=CN．代數(shù)方法主要利用m，n表示直線MN，然后利用m，n表示D，C的坐標，最后用勾股定理求出DM，CN，就證明了題目的結(jié)論．
點評：此題把一次函數(shù)，反比例函數(shù)等代數(shù)知識和平行四邊形，全等三角形，相似三角形等幾何知識結(jié)合在一起，綜合性比較強，要求學生有較強的分析問題好解決問題的能力．