Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分別是邊AB、BC的中點，MP⊥CD于點P．則∠NPC的度數(shù)為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接AC，延長MN交PC的延長線于點O，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，可以得到四邊形AMOC是平行四邊形，且N時MO的中點，所以△MPO是直角三角形，又菱形的對角線平分一組對角，所以∠BAC=50°，所以∠NPC=∠MOC=50°．
解答：解：連接AC，延長MN交PC延長線于點O，
∵M、N分別是邊AB和BC的中點，
∴MN為△ABC中位線，
∴MN∥AC，MN=AC，
在菱形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，
∴在四邊形AMOC中，AM∥OC，AC=MO，
∴四邊形AMOC為平行四邊形，
∵∠BAD=100°，
∴∠BAC=∠BAD=50°，
∴∠MOC=∠BAC=50°，
∵MN=AC，
∴MN=ON，
∴PN為△MPO的中線，
∵MP⊥CD于點P，
∴∠MPO=90°，
∴△MPO為直角三角形，
∴PN=ON（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴△NPO為等腰三角形，
∴∠NPC=∠MOC=50°．
故答案為：50°．
點評：本題考查了菱形的性質以及三角形中位線定理，作輔助線構造出平行四邊形和直角三角形是解題的關鍵，有一定難度．