Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．

（1）求c的值，并用含a的式子表示b；

（2）當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，若二次函數(shù)滿足y隨x的增大而減小，求a的取值范圍；

（3）直線AB上有一點(diǎn)C（m，5），將點(diǎn)C向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)D，若拋物線與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝2a﹣3；（2）≤a＜0或0＜a≤；（3）0＜a＜4或．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分別代入y＝ax2+bx+c，即可求解；

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，依題意拋物線的對(duì)稱軸需滿足≤﹣2；當(dāng)a＞0時(shí)，依題意拋物線的對(duì)稱軸需滿足≥0，即可求解；

（3）①當(dāng)a＞0時(shí)，若拋物線與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則拋物線上的點(diǎn)（1，3a﹣7）在D點(diǎn)的下方，即可求解；②當(dāng)a＜0時(shí)，若拋物線的頂點(diǎn)在線段CD上，則拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求解．

解：（1）把點(diǎn)A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分別代入y＝ax2+bx+c中，得

c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．

∴b＝2a﹣3；

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，依題意拋物線的對(duì)稱軸需滿足≤﹣2，

解得≤a＜0．

當(dāng)a＞0時(shí)，依題意拋物線的對(duì)稱軸需滿足≥0，

解得 0＜a≤．

∴a的取值范圍是≤a＜0或0＜a≤；

（3）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝mx+n，則，解得：，

故直線AB表達(dá)式為y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．

∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．

①當(dāng)a＞0時(shí)，若拋物線與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖1），

y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3a﹣7，

則拋物線上的點(diǎn)（1，3a﹣7）在D點(diǎn)的下方，

∴a+2a﹣3﹣4＜5．

解得a＜4．

∴0＜a＜4；

②當(dāng)a＜0時(shí)，若拋物線的頂點(diǎn)在線段CD上，

則拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖2），

∴．

即．

解得（舍去）或．

綜上，a的取值范圍是0＜a＜4或．