Question

如圖，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求圖中陰影部分的面積；

（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

 

Answer 1

解：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則AE=AB=2．

   在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．

∴OA===4．

又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．

∵AC⊥BD，∴．

∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．

∴S_陰影==．

法二：連結(jié)AD．              

∵AC⊥BD，AC是直徑，

∴AC垂直平分BD．   

∴AB=AD，BF=FD，．

∴∠BAD=2∠BAC=60°，

∴∠BOD=120°．       

∵BF=AB=2，sin60°=，

AF=AB·sin60°=4×=6．

∴OB²=BF²+OF²．即．

∴OB=4．              

∴S_陰影=S_圓=．     

法三：連結(jié)BC．

 ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°．

∵AB=4，

∴．     

∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，

∴∠BOD=120°．

∴S_陰影=π·OA²=×4²·π=．

以下同法一．

（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，

 ∴．  

∴．