如圖,AO是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的高,點(diǎn)D是AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合),以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE,連結(jié)BE并延長(zhǎng),交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△ACD≌△BCE;
(2)當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí):
①求∠ACD的度數(shù);
②求△CEF的面積.
分析:(1)由△ABC和△CDE是等邊三角形,用“SAS”證得△ACD≌△BCE;
(2)①由(1)得∠CBE=∠CAD=30°,得△ABF恒為直角三角形,且∠F=30°,CF=CB=2,又因?yàn)辄c(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合,可得當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí),∠F只能為頂角,繼而求得答案;
②首先作CP⊥BF于點(diǎn)P,由∠CBE=30°,求得CP的長(zhǎng),繼而求得答案.
解答:(1)證明:∵△ABC和△CDE是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE
,
∴△ACD≌△BCE(SAS);

(2)①∵AO是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的高,
∴∠CAO=30°,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD=30°,
∴∠ABF=90°,
∴∠F=90°-∠BAF=30°,
∴CF=CB=2,
又∵點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合,
∴當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí),∠F只能為頂角,
∴∠FCE=75°,
∴∠ACD=∠BCE=120°-75°=45°;

②作CP⊥BF于點(diǎn)P,由∠CBE=30°,
得CP=
1
2
BC=1,
又∵CF=EF=2,
∴S△CEF=
1
2
×2×1=1
點(diǎn)評(píng):此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),設(shè)∠AOB=α°,∠BOC=β°

(1)將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC,連結(jié)OD,如圖2所示.求證:OD=OC.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC,連結(jié)DE,如圖3所示.求證:OA=DE
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,當(dāng)α、β滿足什么關(guān)系時(shí),點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上.并直接寫出AO+BO+CO的最小值.

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(1)將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC,連結(jié)OD,如圖2所示. 求證:OD=OC。

(2)在(1)的基礎(chǔ)上,將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC,連結(jié)DE,如圖3所示. 求證:OA=DE

(3)在(2)的基礎(chǔ)上, 當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí),點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。

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如圖,點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),設(shè)∠AOB=°,∠BOC=°

(1)將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC,連結(jié)OD,如圖2所示. 求證:OD=OC。

(2)在(1)的基礎(chǔ)上,將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC,連結(jié)DE,如圖3所示. 求證:OA=DE

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如圖1,點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),設(shè)∠AOB=°,∠BOC=°

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(2)在(1)的基礎(chǔ)上,將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△EAC,連結(jié)DE,如圖3所示. 求證:OA=DE

(3)在(2)的基礎(chǔ)上, 當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí),點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。

 

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