Question

（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；

（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由；

（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：

如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）如圖所示：

（2）BE=CD

（3）米

【解析】

分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形，得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證。

（2）BE=CD，理由與（1）同理。

（3）根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長。

解：（1）完成圖形，如圖所示：

證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB。

∵在△CAD和△EAB中，，

∴△CAD≌△EAB（SAS）�！郆E=CD。

（2）BE=CD，理由同（1）：

∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°�！唷螩AD=∠EAB。

∵在△CAD和△EAB中，，

∴△CAD≌△EAB（SAS）�！郆E=CD；。

（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，

則AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米。

連接CD，則由（2）可得BE=CD。

∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°。

在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，

根據(jù)勾股定理得：（米）。

∴BE=CD= 米。