在一次課題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，老師提出了如下問題：

點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線l能夠畫幾條？經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出了如下畫法：

如圖過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．

根據(jù)以上信息，解決下列問題：

(1)

甲同學(xué)的畫法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)

在圖(1)中，能否再畫出符合題目條件的直線？如果能，請(qǐng)直接在圖(1)中畫出．

(3)

如圖(2)，、分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且．當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？

(4)

如圖(3)，正方形ABCD邊界上的、、、、、、、都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試討論，符合題目條件的直線l條數(shù)的情況．

答案：
解析：

(1)

甲同學(xué)的畫法正確．

因?yàn)镻E∥AD，所以△MPE∽△MNA，所以，而EM=2EA，所以，因此點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)．

(2)

能再畫出一條符合題目條件的直線．在EB上取點(diǎn)使，直線即為滿足條件的直線，如圖所示．

(3)

若點(diǎn)P在線段上，能夠畫出符合題目條件的直線有無(wú)數(shù)條，如圖答12(2)所示．

(4)

若點(diǎn)P在、、、上時(shí)，可以畫出無(wú)數(shù)條符合條件的直線l；

當(dāng)點(diǎn)P在正方形內(nèi)部時(shí)，不存在這樣的直線l，使得點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在矩形，、、內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)P可以畫出兩條符合條件的直線，使得點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn).


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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在一次課題學(xué)習(xí)中活動(dòng)中，老師提出了如下一個(gè)問題：
點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：
如圖1，過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請(qǐng)直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A1，C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A1C1∥AD．當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C1上時(shí)，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在一次課外實(shí)踐活動(dòng)中，有兩個(gè)課題學(xué)習(xí)小組分別用測(cè)傾器、皮尺測(cè)量旗桿和小山的高度，他們分別設(shè)計(jì)了如下方案：
第一組，測(cè)量旗桿（圖-）：①在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得旗桿頂部M的仰角∠MCE=α；②量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部N的水平距離AN=m；量出測(cè)傾器的高度AC=h．
第二組，測(cè)量某小山的高度（圖二），他們測(cè)量時(shí)所填寫的表格如下：
題目   測(cè)量小山的高度
 

測(cè)量數(shù)據(jù)		  測(cè)量項(xiàng)目 測(cè)傾器高度 
 仰角α 20°30′       1.2米
 仰角β  30°    小山高度
 AB的距離           
（1）請(qǐng)你求出旗桿的高度（用已知的字母表示）；
（2）第二小組記錄的同學(xué)不小心將AB的距離弄模糊了，請(qǐng)你填上一個(gè)較合理的數(shù)據(jù)，并由此求出小山PH的高度（結(jié)果精確到個(gè)位）．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：第19章《相似形》中考題集（15）：19.6 相似三角形的性質(zhì)（解析版） 題型：解答題

在一次課題學(xué)習(xí)中活動(dòng)中，老師提出了如下一個(gè)問題：
點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：
如圖1，過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請(qǐng)直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A1，C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A1C1∥AD．當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C1上時(shí)，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：第3章《圖形的相似》中考題集（17）：3.3 相似三角形的性質(zhì)和判定（解析版） 題型：解答題

在一次課題學(xué)習(xí)中活動(dòng)中，老師提出了如下一個(gè)問題：
點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？
經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：
如圖1，過點(diǎn)P畫PE⊥AB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請(qǐng)直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A1，C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A1C1∥AD．當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C1上時(shí)，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在邊的三等分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況．

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