Question

13．如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2$\sqrt{10}$，sin∠CAF=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）連接AE，利用已知條件分別求出BC，CE的長，由BE=BC-CE計算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠DBA=90°．
∵AB=AC，
∴2∠ABD=∠ABC，AD=$\frac{1}{2}$AC．
∵AF為⊙O的切線，
∴∠FAB=90°．
∴∠FAC+∠CAB=90°．
∴∠FAC=∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：連接AE．
∴∠AEB=∠AEC=90°．
∵$sin∠CAF=\frac{{\sqrt{10}}}{10}\;，\;\;∠ABD=∠CAF\;=∠CBD=∠CAE$，
∴$sin∠ABD=sin∠CAF=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∵$∠ABD=90°\;，\;\;AC=2\sqrt{10}$，
∴$AD=\sqrt{10}$，$AB=\frac{AD}{sin∠ABD}=10$．
∵$∠AEC=90°\;，\;\;AC=2\sqrt{10}$，
∴CE=AC•sin∠CAE=2．
∴BE=BC-CE=10-2=8．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．