Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為（1，）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，試在對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使△CDP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交線段BC于點(diǎn)F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，）
∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a （ x-1）²+
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C （0，4），
∴a （0-1）²+=4
解得a=-
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-（ x-1）²+

（2）P₁ （1，），P₂ （1，-），P₃ （1，8），P₄ （1，），

（3）存在．
令-（ x-1）²+=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴拋物線y=-（ x-1）²+與x軸的交點(diǎn)為A （-2，0）B（4，0）
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為 （x，0），則EB=4-x，MF= （4-x）
∴S=S_△BCE-S_△BEF= EB•OC- EB•MF
= EB（OC-MF）= （4-x）[4- （4-x）]
=-x²+x+=-（ x-1）²+3
∵a=-＜0，
∴S有最大值
當(dāng)x=1時(shí)，S_最大值=3
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 （1，0）．
分析：（1）將拋物線的頂點(diǎn)代入到拋物線的頂點(diǎn)式中得到y(tǒng)=a （ x-1）²+，然后將與y軸交于點(diǎn)C代入到上式中即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P₁ （1，），P₂ （1，-），P₃ （1，8），P₄ （1，）；
（3）求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，利用△BEF∽△BAC即可得到函數(shù)關(guān)系式S=-x²+x+，配方后即可求得最大值，從而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．