Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
（2）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？(要有必要的過(guò)程)

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，

∴出發(fā)2秒后，則CP=2，

∵∠C=90°，

∴PB=

∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=2+5+ =7+

（2）解：①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，

此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；

②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：

i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，

所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；

ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，

作CD⊥AB于點(diǎn)D，

在Rt△PCD中，PD=1.8，

所以BP=2PD=3.6cm，

所以P運(yùn)動(dòng)的路程為9-3.6=5.4cm，

則用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；

ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm

則所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；

綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時(shí)，△BCP為等腰三角形

【解析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由出發(fā)2秒后，得到CP=2，再根據(jù)勾股定理求出PB的長(zhǎng)，得到△ABP的周長(zhǎng)；（2）①若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；若CP=BC=3cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，得到用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm，所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；此題是綜合題，難度較大，分類(lèi)討論時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．