Question

如圖，將腰長為的等腰Rt△ABC（∠C是直角）放在平面直角坐標系中的第二象限，其中點A在y軸上，點B在拋物線y=ax²+ax-2上，點C的坐標為（-1，0）．
（1）點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）拋物線的關系式為______，其頂點坐標為______；
（3）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△AB′C′的位置．請判斷點B′、C′是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△AOC中，已知了斜邊CA和直角邊OC的長，利用勾股定理即可求得OA的值，從而得到點A的坐標；過B作BE⊥x軸于E，由于△ABC是等腰直角三角形，易證得△BCE≌△CAO，可得BC=OA、BE=OC，由此可求得點B的坐標．
（2）將點B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）解決此題首先要求出B′、C′的坐標，可仿照（1）的方法求解；過B作BN⊥y軸于N，過B′作B′M⊥y軸于M，可通過證△ABN≌△AB′M，來求得AM、B′M的長，進而確定出點B′的坐標；C′坐標的求法相同，過C′作C′P⊥y軸于P，通過證△AOC≌△APC′，來求得點C′的坐標，進而可將B′、C′的坐標代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
解答：解：（1）過B作BE⊥x軸于E；
在Rt△AOC中，AC=，OC=1，則OA=2；
故A（0，2）；
由于△ACB是等腰直角三角形，則AC=BC，∠ACB=90°；
∴∠BCE=∠CAO=90°-∠ACO，
∴△BCE≌△CAO，
則CE=OA=2，BE=CO=1，
故B（-3，1）；
∴A（0，2），B（-3，1）．（2分）

（2）由于拋物線經過點B（-3，1），則有：
9a-3a-2=1，a=；
∴解析式為y=；（3分）
由于y==，
故拋物線的頂點為（-）．（4分）

（3）如圖，過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C′作CP⊥y軸于點P；
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）；
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，
可得點C′（2，1）；
將點B′、C′的坐標代入y=，
可知點B′、C′在拋物線上．（7分）
（事實上，點P與點N重合）
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質、圖形的旋轉變換、全等三角形的判定和性質、函數圖象上點的坐標意義等知識，難度適中．