Question

如圖（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n為實數(shù)）．試探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖（2），當m=1，n=1時，EF與EG的數(shù)量關(guān)系是______．證明：
（2）如圖（3），當m=1，n為任意實數(shù)時，EF與EG的數(shù)量關(guān)系是______．證明：
（3）如圖（1），當m，n均為任意實數(shù)時，EF與EG的數(shù)量關(guān)系是______．（寫出關(guān)系式，不必證明）

Answer 1

【答案】分析：本題需要尋找相似三角形，并利用相似三角形的性質(zhì)依次推理得出結(jié)論．
解答：證明：（1）如圖1，連接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，當m=1，n=1時
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（2）解：EF=EG，
證明：如圖2，作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴=，
即EM=CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴=
∴EN=AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴==1，
∴=1×=，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴==，
即EF=EG；

（3）EF=EG．
點評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解，難度較大．