Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)F是其對稱軸上的點(diǎn)，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積；

（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（﹣4，0），C（0，2）；（2）；（3）M（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題．

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，易知點(diǎn)E坐標(biāo)，由此不難解決問題．

（3）分A、C、M為頂點(diǎn)三種情形討論，分別求解即可解決問題．

試題解析：（1）令y=0得，∴，x=﹣4或2，∴點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，2）．

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣7或5，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（﹣7，）或（5，），此時點(diǎn)F（﹣1，），∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積=6×=．

（3）如圖所示，①當(dāng)C為頂點(diǎn)時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴點(diǎn)M1坐標(biāo)（﹣1，），點(diǎn)M2坐標(biāo)（﹣1，）．

②當(dāng)M3為頂點(diǎn)時，∵直線AC解析式為y=﹣x+1，線段AC的垂直平分線為y=x，∴點(diǎn)M3坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．

③當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形不存在．

綜上所述點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）．