Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P繞點(diǎn)T（t，0）（t＞0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“發(fā)展點(diǎn)”．

（1）當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)（0，0）的“發(fā)展點(diǎn)”坐標(biāo)為　 　，點(diǎn)（﹣1，﹣1）的“發(fā)展點(diǎn)”坐標(biāo)為　 　．

（2）若t＞2，則點(diǎn)（2，3）的“發(fā)展點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為　 　（用含t的代數(shù)式表示 ）．

（3）若點(diǎn)P在直線y＝2x+6上，其“發(fā)展點(diǎn)”Q在直線y＝2x﹣8上，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

（4）點(diǎn)P（2，2）在拋物線y＝﹣x2+k上，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“發(fā)展點(diǎn)”，若△PMQ是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（6，0），（7，1）；（2）2t﹣2；（3）T（，0）；（4）t的值為或5．

【解析】

（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想和中心對(duì)稱的性質(zhì)求解；

（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想和中心對(duì)稱的性質(zhì)求解；

（3）設(shè)，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，，然后求出得到點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）先把代入中求出得到拋物線解析式為，利用點(diǎn)為點(diǎn)的“發(fā)展點(diǎn)”得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到為等腰直角三角形，討論：當(dāng)時(shí)，把點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，然后點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，再解方程即可；當(dāng)時(shí)，利用同樣方法求對(duì)應(yīng)的值．

（1）把（0，0）繞點(diǎn)（3，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；

把（﹣1，﹣1）繞點(diǎn)（3，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，1）；

（2）把（2，3）繞點(diǎn)（t，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（2t﹣2，﹣3）；

故答案為（6，1），（7，1）；2t﹣2；

（3）設(shè)P（m，2m+6），Q（n，2n﹣8），

∵P點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于T（t，0）對(duì)稱，

∴＝0，＝t，

∴m+n＝1，t＝，

∴T（，0）；

（4）把（2，2）代入y＝﹣x2+k得﹣4+k＝2，

解得k＝6，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+6，

∵點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“發(fā)展點(diǎn)”，

∴點(diǎn)T為PQ的中點(diǎn)，

∵△PMQ是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴MT垂直平分PQ，

∴△PTM為等腰直角三角形，

當(dāng)0＜t≤2時(shí)，

把P點(diǎn)繞T點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)M，

則M（t+2，t﹣2），

把M（t+2，t﹣2）代入y＝﹣x2+6得﹣（t+2）2+6＝t﹣2，

解得t1＝，t2＝（舍去），

當(dāng)t＞2時(shí)，

把P點(diǎn)繞T點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)M，

則M（t﹣2，2﹣t），

把M（t﹣2，2﹣t）代入y＝﹣x2+6得﹣（t﹣2）2+6＝2﹣t，

解得t1＝5，t2＝0（舍去），

綜上所述，t的值為或5．