Question

【題目】如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】（1）2（2）見(jiàn)解析

【解析】解：（1）連接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，

∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°。∴∠BOC=60°。

∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形。

∵OC =2，∴BC=OC=2。

（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。

∴∠CBP=∠CPB。

∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB⊥BP。

∵點(diǎn)B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線(xiàn)。

（1）連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng)。

（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，從而證得PB是⊙O的切線(xiàn)。