Question

已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，將此拋物線向右平移得y=x²+mx+n，平移后的拋物線與原拋物線的交點為G，與x軸的交點為A₁，B₁，若△AGB₁為等腰直角三角形，求m，n的值．

Answer 1

分析：令y=0，求出點A、B的坐標，從而得到AB的長，設向右平移a個單位，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質表示出點G的橫坐標和縱坐標，再根據(jù)點G是兩個拋物線的交點，把點G的坐標代入拋物線解析式求出a的值，再求出原拋物線的頂點坐標并根據(jù)向右平移橫坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，利用頂點式解析式寫出并整理成一般形式，最后根據(jù)對應項系數(shù)相等求出m、n的值．

解答：解：令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
設向右平移a個單位（a＞0），則AB₁=4+a，
∵△AGB₁為等腰直角三角形，
∴點G的橫坐標為

4+a

2

-1=

2+a

2

，
縱坐標為-

4+a

2

，
∵點G是兩個拋物線的交點，
∴（

2+a

2

）²-2×

2+a

2

-3=-

4+a

2

，
整理得，a²+2a-8=0，
解得a₁=2，a₂=-4（舍去），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴原拋物線的頂點坐標為（1，-4），
∴平移后拋物線的頂點坐標為（3，-4），
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-3）²-4=x²-6x+5，
又∵平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+n，
∴m=-6，n=5．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了等腰直角三角形的性質，二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用平移距離表示出點G的橫坐標與縱坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．