Question

已知：等邊三角形ABC

(1)如圖，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠BPC＝120°．

試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD＝120°．

求證：PA＋PD＋PC＞BD

Answer 1

答案：
解析：

猜想：AP＝BP＋PC　1分 　　(1)證明：延長(zhǎng)BP至E，使PE＝PC，聯(lián)結(jié)CE 　　∵∠BPC＝120° 　　∴∠CPE＝60°，又PE＝PC 　　∴△CPE為等邊三角形 　　∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60° 　　∵△ABC為等邊三角形 　　∴AC＝BC，∠BCA＝60° 　　∴∠ACB＝∠PCE， 　　∴∠ACB＋∠BCP＝∠PCE＋∠BCP 　　即：∠ACP＝∠BCE 　　∴△ACP≌△BCE 　　∴AP＝BE　2分 　　∵BE＝BP＋PE 　　∴AP＝BP＋PC　3分 　　(2)方法一： 　　在AD外側(cè)作等邊△A D　4分 　　則點(diǎn)P在三角形AD外 　　∵∠APD＝120°∴由(1)得P＝AP＋PD 　　在△PC中，有P＋PC＞C， 　　∴PA＋PD＋PC＞C　5分 　　∵△AD、△ABC是等邊三角形 　　∴AC＝AB，A＝AD， 　　∠BAC＝∠DA＝60° 　　∴∠BAC＋∠CAD＝∠DA＋∠CAD 　　即：∠BAD＝∠CA 　　∴△AC≌△ADB 　　∴C＝BD　6分 　　∴PA＋PD＋PC＞BD　7分 　　方法二：延長(zhǎng)DP到M使PM＝PA，聯(lián)結(jié)AM、BM 　　∵∠APD＝120°， 　　∴△APM是等邊三角形，　4分 　　∴AM＝AP，∠PAM＝60° 　　∴DM＝PD＋PA　5分 　　∵△ABC是等邊三角形 　　∴AB＝AC，∠BAC＝60° 　　∴△AMB≌△APC 　　∴BM＝PC　6分 　　在△BDM中，有DM＋BM＞BD， 　　∴PA＋PD＋PC＞BD　7分