已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,一元二次方程x2+b2x+20=0的兩實(shí)根為x3、x4,且x2-x3=x1-x4=3,求二次函數(shù)的解析式,并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】
分析:先將x
2-x
3=x
1-x
4=3化簡為兩根之和的形式,再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.
解答:解:∵x
2-x
3=x
1-x
4=3
∴x
2-x
3=3,x
1-x
4=3
∴x
2-x
3+x
1-x
4=6即(x
1+x
2)-(x
3+x
4)=6
∴(x
1+x
2)-(x
3+x
4)=-b+b
2=6,即b
2-b-6=0,解得:b=-2或3
∵x
2-x
3=x
1-x
4
∴|x
1-x
2|=|x
3-x
4|
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103101216978193347/SYS201311031012169781933024_DA/0.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103101216978193347/SYS201311031012169781933024_DA/1.png)
∴9-4c=81-4×20,
解得:c=2
又∵一元二次方程x
2+b
2x+20=0有兩實(shí)根
∴△=b
4-80≥0,
當(dāng)b=-2,c=2時(shí),有y=x
2-2x+2,
△=4-4×1×2=-4<0,
與x軸無交點(diǎn),
∴b=-2不合題意舍去
則解析式為y=x
2+3x+2,
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)坐標(biāo):
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103101216978193347/SYS201311031012169781933024_DA/2.png)
.
點(diǎn)評:要求熟悉二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離公式|x
1-x
2|,并熟練運(yùn)用.