Question

如圖，四邊形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交AB邊于E，連接CE．請(qǐng)找出DE、AE、CE之間的等量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：要求DE、AE、CE的關(guān)系，就需要得出三角形DAE和DEC相似，這兩個(gè)三角形中已知的條件有一組直角，如果再證得一組對(duì)應(yīng)角相等就能得出相似的結(jié)論，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)．證明延長(zhǎng)BA、CD交于O，AD、BC同時(shí)垂直AB，因此AD∥
BC，又根據(jù)BC=2AD，那么我們可得出OD=CD，又已知了ED⊥OC，一條公共邊DE，那么三角形ECD和EOD全等，那么∠AED=∠CED，這樣就構(gòu)成了上面所說的三角形DAE和DEC相似的條件，那么兩三角形相似，這樣就得出了ED、AE、CE的比例關(guān)系．
解答：解：關(guān)系式DE²=AE•CE．
證明：延長(zhǎng)BA、CD交于O，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）．
∴△ODA∽△OCB．
∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）即OD=DC．
在△EDO與△EDC中，
，
∴△EDO≌△EDC（SAS）．
∴∠O=∠1．
又∵∠O+∠AED=∠ADE+∠AED=90°（互余），
∴∠O=∠ADE．
∴∠1=∠ADE．
∴Rt△DAE∽R(shí)t△CDE，
∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）．
即DE²=AE•CE．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，本題中通過構(gòu)建全等三角形來得出角相等是解題的關(guān)鍵．