Question

已知關(guān)于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍．

Answer 1

（1）證明：①當(dāng)k=0時，方程為x+3=0，所以x=-3，方程有實數(shù)根，
②當(dāng)k≠0時，△=（3k+1）²-4k•3，
=9k²+6k+1-12k，
=9k²-6k+1，
=（3k-1）²≥0，
所以，方程有實數(shù)根，
綜上所述，無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

（2）令y=0，則kx²+（3k+1）x+3=0，
解關(guān)于x的一元二次方程，得x₁=-3，x₂=-

1

k

，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，
∴k=1；

（3）由（2）得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
于是設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
①當(dāng)拋物線經(jīng)過點C時，令x=0，則y=9，
∴C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，
解得h=

-1± 145

4

，
∴當(dāng)

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；
②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
消掉y得，x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時拋物線y=（x-4）²+2與射線CD唯一的公共點為（3，3），符合題意，
綜上所述：平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

．