Question

已知：如圖，等邊△ABC中，AB＝1，P是AB邊上一動點，作PE⊥BC，垂足為E；作EF⊥AC，垂足為F；作FQ⊥AB，垂足為Q．

(1)設(shè)BP＝x，AQ＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點P和點Q重合時，求線段EF的長；

(3)當(dāng)點P和點Q不重合，但線段PE、FQ相交時，求它們與線段EF圍成的三角形周長的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC是等邊三角形，AB＝1． 　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，BC＝CA＝AB＝1．　1分 　　又∵∠BEP＝∠CFE＝∠FQA＝90°，BP＝x． 　　∴BE＝x，CE＝1－x，CF＝－x，AF＝1－(－x)＝＋x． 　　∴AQ＝AF＝(＋x)， 　　∴y＝x＋．　2分 　　(2)由方程組　3分 　　得x＝．　4分 　　∴當(dāng)點P和點Q重合時，x＝， 　　∴EF＝CF＝(－x)＝．　5分 　　(3)設(shè)線段PE、FQ相交于點M， 　　易證△MEF是等邊三角形，　6分 　　且當(dāng)點P和點A重合時，EF最短為．　7分 　　∴≤m＜．　8分