Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點A的坐標(biāo)為（12，0），點B的坐標(biāo)為（6，8），點C在y軸的正半軸上．動點Q在OA上運(yùn)動，從O點出發(fā)到A點，速度是每秒2個單位長度；動點P在AB上運(yùn)動，從A點出發(fā)到B點，速度是每秒1個單位長度，兩個動點同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨即停止，設(shè)兩個點的運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）當(dāng)點P運(yùn)動至AB的中點時，求點P坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時，QP⊥CQ？
（3）當(dāng)t為何值時，△CPQ的面積有最大（�。┲�？并求出最大（�。┲担�

Answer 1

分析：（1）作輔助線，根據(jù)題意即可得出點P坐標(biāo)；
（2）易得△MBA∽△NPA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出的等量關(guān)系即可得出此時t的值；
（3）由于三角形CPQ的面積無法直接求出，因此可用其他圖形的面積的“和，差”關(guān)系來求．△CPQ的面積=梯形ABCD的面積-△OCQ的面積-△AQP的面積-△PCB的面積．可據(jù)此來得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最小值．

解答：解：作PG⊥OC于G、BM⊥OA于M、PN⊥OA于N，
延長NP交CB于H，得PG∥ON，BM∥PN，PH⊥BC．

（1）∵當(dāng)點P運(yùn)動至AB的中點時，
∴AP=BP，CG=OG，
∴PG=

1

2

（CB+OA）=9，PN=

1

2

BM=4，
∴點P坐標(biāo)為（9，4）；

（2）∵BM=8，AM=6，
∴AB=10，
又∵BM⊥MN，
∴△MBA∽△NPA，
可得AN=

3

5

t，PN=

4

5

t，
若QP⊥CQ，則應(yīng)有△OCQ∽△NQP，
∴

2t

4 5 t

=

8

12- 3 5 t-2t

，
得t=

44

13

（秒），
當(dāng)t=

44

13

s時，QP⊥CQ；

（3）設(shè)△CPQ的面積為S，
S=S_梯形ABCD-S_△OCQ-S_△AQP-S_△PCB
=72-

1

2

×8×2t-

1

2

（12-2t）

4

5

t-

1

2

×6×（8-

4

5

t）
=

4

5

t²-

52

5

t+48
=

4

5

(t-

13

2

)2+

71

5

∵0＜t≤6，
∴當(dāng)t=6s時，△CPQ的面積取得最小值為

72

5

．

點評：本題結(jié)合了梯形的性質(zhì)考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的基本思路，難度適中．