Question

設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，且a≠0，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且拋物線的頂點(diǎn)在直線y=-1上．若△ABC是直角三角形，則Rt△ABC面積的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)已知條件設(shè)出拋物線與x軸的交點(diǎn)，由射影定理的逆定理可求出c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出4a=4+b²，且a≥1，再由三角形的面積公式及a的取值范圍可求出其最大面積．
解答：解：設(shè)y=ax²+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，c），c≠0，交x軸于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，點(diǎn)C必為直角頂點(diǎn)，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
所以c²=-，c=-，
又=-1，即4a=4+b²，且a≥1，
所以S_△ABC=|c|•|x₁-x₂|=，
=，
=≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=0，c=-1時(shí)等號(hào)成立，因此，Rt△ABC的最大面積是1．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)、三角形的面積公式及根與系數(shù)的關(guān)系，有一定的綜合性，但難度適中．